Matematica
Musica e Matematica – la prima una forma d’arte, la seconda una scienza esatta – hanno in realtà molti aspetti in comune.
Pensiamo ad esempio al Pentagramma: altro non è che un piano cartesiano.
L’asse delle ascisse è rappresentata dai tempi, e l’asse delle ordinate dalla frequenza e quindi dall’altezza del suono.
Trasformazioni geometriche musicali
Attraverso il linguaggio della geometria è possibile descrivere determinate tecniche musicali, alcune delle quali sono molto più usate di quanto si possa pensare.
- Traslazione orizzontale
La traslazione orizzontale è una trasformazione isometrica (che mantiene i rapporti tra le distanze) che provoca uno spostamento della figura interessata sull’asse delle ascisse, senza che la forma venga modificata o ruotata.
Trova una corrispondenza in musica nella ripetizione oppure nel canone musicale (con l’unico vincolo che in musica il vettore di spostamento dev’essere positivo), a seconda della quantità di tempo di cui viene traslato il frammento musicale.
Un esempio di ripetizione è il celebre “Fra Martino”.
Nel brano la melodia traslata inizia quando ancora non si è conclusa l’originale. Si crea così l’idea di più voci che si sovrappongono:
- Traslazione verticale
Se la traslazione avviene sull’asse verticale, musicalmente otterremo una trasposizione, ovvero la stessa melodia ma in una tonalità differente.
A livello pratico, cambiano tutte le note della melodia ma rimangono invariati i rapporti fra esse.
- Simmetria assiale
Un’altra trasformazione isometrica che troviamo in musica è la riflessione.
Prendiamo in considerazione la simmetria assiale: fissata una retta nel piano, ad ogni punto della figura corrisponde un secondo punto dalla parte opposta rispetto all’asse, tale che abbia la stessa distanza dalla retta.
In sostanza, l’immagine viene “ribaltata” dall’altra parte della retta e la vediamo come se fosse riflessa nello specchio.
In musica, se l’asse di riflessione è verticale, si ottiene una retrogradazione. Vale a dire la riscrittura di una melodia, a partire però dall’ultima nota e ripercorrendo all’indietro nella sequenza contraria la successione delle note.
Se melodia originale e retrograda vengono eseguite una di seguito all’altra, saremo di fronte a un caso di “simmetria melodica”.
Se la riflessione avviene su un asse orizzontale, musicalmente otteniamo una inversione. Se la melodia sale di un semitono, l’inversa scenderà di un semitono.
- Simmetria centrale
La simmetria centrale è invece la riflessione di una figura rispetto a un punto, detto centro di simmetria.
Ad ogni punto della figura corrisponde un secondo punto, tale che il centro di simmetria coincida con il punto medio del segmento che congiunge i due punti.
In musica, il risultato che si ottiene applicando questa trasformazione viene detto inversione retrograda.
Infatti è dato dalla combinazione di una retrogradazione (simmetria su asse verticale) e una inversione (simmetria su asse orizzontale).
Anche in geometria la simmetria centrale può essere vista come la combinazione di una simmetria assiale su asse verticale e di una su asse orizzontale.
Un esempio di applicazione di questa tecnica è il Canone Inverso di Bach, in cui due voci "subiscono" l'inversione retrograda nella seconda metà del brano.
Altre trasformazioni
Altre trasformazioni geometriche, come la
dilatazione, riscontrano in musica un'applicazione più pratica che teorica, come vedremo nella sezione di Fisica.
